The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s(X), n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0, n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
incr(cons(X, n__incr(X37_1))) →⁺ cons(s(X), n__incr(incr(X37_1)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1,0].
The pumping substitution is [X37_1 / cons(X, n__incr(X37_1))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s(X), n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
s/0

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
incr, activate, adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, incr, adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
incr, adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol incr.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

Induction Base:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0))

Induction Step:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(n81_0, 1))) →_R^Ω(1)
incr(cons(s, n__adx(activate(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0))))) →_R^Ω(1)
incr(cons(s, n__adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)))) →_R^Ω(1)
cons(s, n__incr(activate(n__adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0))))) →_R^Ω(1)
cons(s, n__incr(adx(activate(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0))))) →_R^Ω(1)
cons(s, n__incr(adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)))) →_IH
cons(s, n__incr(*4_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Lemmas:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, incr

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Lemmas:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
incr

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr = activate
incr = adx
activate = adx

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol incr.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Lemmas:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

(23) BOUNDS(n^1, INF)

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, n__incr(activate(L)))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, n__adx(activate(L))))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', n__zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → activate(L)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
zeros → n__zeros
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(X) → X

Types:
incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nil :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
cons :: s:0' → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
s :: s:0'
n__incr :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
activate :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
n__adx :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
nats :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
0' :: s:0'
n__zeros :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
head :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → s:0'
tail :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros1_0 :: nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0 :: Nat → nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros

Lemmas:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
adx(gen_nil:cons:n__incr:n__adx:n__zeros3_0(n81_0)) → *4_0, rt ∈ Ω(n81₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)